Giả sử 100 số đó đôi một khác nhau

Không mất tính tổng quát giả sử \(0< a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)

Vậy \(a_1\ge1;a_2\ge2;....;a_{100}\ge100\)suy ra \(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)(99 phân số \(\frac{1}{2}\)) 

\(\Rightarrow\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{100}}< \frac{1}{2}.\left(2+99\right)=\frac{1}{2}.101=\frac{101}{2}\)trái với giả thiết.

Vì vậy điều giả sử sai, ta có điều phải chứng minh

cảm ơn bạn

cảm ơn bạn

Giả sử trong 100 số đó không có số nào bằng nhau a1 > a2>a3>.....a100

Mà a1,a2,a3,...,a100 thuộc Z

​\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)(vôlý)

Vậy có ít nhất 2 số bằng nhau trong dãy số trên

còn cách nào khác k bạn

\(A_1+A_2+A_3+...+A_{100}=2.2019\). Mà 2.2019 chia hết cho 2

\(\Rightarrow A_1+A_2+A_3+...+A_{100}⋮2\)

\(\Rightarrow A_1.2+A_2.2+A_3.2+...+A_{100}.2\)

\(=2.\left(A_1+A_2+A_3+...+A_{100}\right)⋮2\)

=> 2(A1+A2+A3+....+A100)
Mà 2 chia hết cho 2
=> 2(A1+A2+A3+....+A100) chia hết cho 2
=> A1.2+A2.2+A3.2+.…..+A100.2 chia hết cho 2(đpcm)

Ta luôn luôn có :

n²-n=n.n-n=n×(n-1)

Nxét:n và n-1 là 2 số tự nhiên liên tiếp⇒n×(n-1)⋮ 2  (1)

\(\Rightarrow S=a\dfrac{2}{1}+a\dfrac{2}{2}+a\dfrac{2}{3}+...+a-\left(a_1+a_2+a_3+...+a_{100}\right)\\ \Rightarrow S=a\dfrac{2}{1}+a\dfrac{2}{2}+a\dfrac{2}{3}+...+a\dfrac{2}{100}-\left(a_1-a_2-a_3-...-a_{100}\right)\\ \Rightarrow S=\left(a\dfrac{2}{1}-a_1\right)+\left(a\dfrac{2}{2}-a_2\right)+\left(a\dfrac{2}{3}-a_3\right)+...\left(a\dfrac{2}{100}-a_{100}\right)⋮2\)

\(\Rightarrow a\dfrac{2}{1}+a\dfrac{2}{2}+a\dfrac{2}{3}+...+a\dfrac{2}{100}⋮2\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :

\(\frac{a_1-1}{100}=\frac{a_2-2}{99}=...=\frac{a_{100}-100}{1}=\frac{a_1+a_2+...+a_{100}-5050}{5050}=\frac{10100-5050}{5050}=\frac{5050}{5050}=1\)

\(\Rightarrow a_1-1=100\)

\(a_2-2=99\)

...

\(a_{100}-100=1\)

\(\Rightarrow a_1=a_2=...=a_{100}=101\)

Giả sử trong 100 số nguyên dương đã cho không tồn tại 2 số nào bằng nhau

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)

\(\Rightarrow a_1\ge1;a_2\ge2;a_3\ge3;....;a_{100}\ge100\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a^2_3}...+\frac{1}{a^2_{100}}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\left(1\right)\)

Lại có: \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a^2_2}+...+\frac{1}{a^2_{100}}< \frac{199}{100}\) trái với giả thiết

Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số a₁,a₂,...,a₁₀₀

\(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6+a_7=0\left(1\right)\)

\(a_1+a_2=a_3+a_4=a_5+a_6=a_1+a_7=1\left(2\right)\)

Thay (2) vào (1) : 

\(1+1+1+a_7=0\)

\(\Rightarrow a_7=-3\)

\(a_1=1-a_7=1--3=4\)

\(a_2=1-a_1=1-4=-3\)

Chúc bạn học tốt !!!